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                2018年北京市高考數學試卷(理科)

                2018年北京市高考數學試卷(理科) 一、選擇題共 40分。在每小題列出的四個選項中,選 出符合題目▽要求的一項。 A.{0,1}B.{1,0,1} 分)在復平面〖內,復數的共軛復數對應的點位於( A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數學ω 方法計算出半音比例,為這個理論的發展做出了重要貢獻,十二平均律將一個純八度音程分 成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前 一個單音的頻率的比都等於 .若第一個單音的頻率為 f,則第八個單音的頻 A.1B.2 C.3 D.4 A.充分而不必要▲條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 為點P(cosθ,sinθ)到直線xmy2=0的距離.當θ、m變化時,d 的最大值為( A.1B.2 C.3 D.4 A.對任意實↑數a,(2,1)AB.對◤任意實數a,(2,1)A 時,(2,1)A二、填空題共 10.(5分)在極〒坐標系中,直線 ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓 ρ=2cosθ 相切,則 11.(5分)設函數 f(x)=cos(ωx )對任意的實數卐x 都成立,則ω 的最小值為 滿足x+1y2x,則2yx的最小值是■ 13.(5分)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x(0,2]都成立,則f(x)在 14.(5分)已知橢圓 曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點⌒及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心Ψ 率為 ;雙曲線N 的離心率為 小題,共80 分。解答應寫出文字說明,演算步□ 驟或證明過程。 15.(13 分)在ABC ()求AC邊上的高. 16.(14 分)如圖,在三棱柱 ABCA 平面ABC,D,E,F,G 的中點,AB=BC=,AC=AA ()求證:AC平面BEF;()求二面角BCDC 的余弦值;()證明:直線FG 與平面BCD 相交. 17.(12 分)電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值. 假設所有電影是否Ψ獲得好評相互獨立. ()從電影公司收集的電影中隨機選取1 部,求這部電影是獲得好評的第四類 電影的概率; ()從第四類電影︽和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1 部獲得好評的 概率; ()假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用 類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ 的∩大小關系.18.(13 分)設函數f(x)=[ax 處取得極小值,求a的取值範】圍. 19.(14 分)已知拋物線↙ =2px經過點 與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA M,直線PB ()求直線l的斜╳率的取值◥範圍; {0,1},k=1,2,…,n},對於集合A 中的任≡意元素」α=(x 的子集,且滿足:對於B中的任意元素α,β,當α, 中元素個數的最大值;()給定不小於2 的子集,且滿足:對於B中的任意兩個不同 的元素α,β,M(α,β)=0,寫出一個㊣ 集合B,使其〇元素個數最多,並說明理由. 2018年北京市高考數學試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題共 40分。在每小題列出的四個選項中,選 出符合題目要求的一項。 A.{0,1}B.{1,0,1} 分)在復平面內,復數的共軛復數對應的點位於( A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:復數 【解答】解:在執行第一次循╱環時,k=1,S=1.在執行第一次循環時,S=1 由於k=23,所以執行下一次循環.S= 分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例,為這個理論的發展做出了重要貢獻,十二平均律將一個純八度音程分 成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前 一個單音的頻率的比都等於 .若第一個單音的頻率為 f,則第八個單音的頻 【解答】解:從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等於 A.1B.2 C.3 D.4 【解答】解:四棱錐的三視圖對應的≡直觀圖為:PA底面ABCD, AC= ,CD= PC=3,PD=2,可〓得三角形PCD 不是直角三角形. 所以側面中有3 個直角三角形,分別為:PAB,PBC, PAD. A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 【解答】解:“| 為點P(cosθ,sinθ)到直線xmy2=0的距離.當θ、m變化時,d 的最大值為( A.1B.2 C.3 D.4 【解答】解:由題意d= A.對任意實數a,(2,1)AB.對任意實數a,(2,1)A 時,(2,1)A【解答】解:當a=1 時,集合A={(x,y)|xy1,ax+y>4,xay2}={(x, y)|xy1,x+y>4,x+y2},顯然(2,1)不滿足,x+y>4,x+y2, 所以A,C 不正確; 4x+y>4,x4y2},顯然(2,1)在可行域內,滿足不等式,所以B不正確; =6n3.故答案為:a =6n3.10.(5 分)在極坐標系中,直線 ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓 ρ=2cosθ 相切,則 【解答】解:圓ρ=2cosθ,轉化成:ρ =2ρcosθ,進一步轉化成直角坐標方程為:(x1) 把直線ρ(cosθ+sinθ)=a的方程轉化成直角坐標方程為:x+ya=0. 由於直線和圓相切, 所以:利用圓心到直線的距離等於半徑. 11.(5分)設函數 f(x)=cos(ωx )對任意的實數x 都成立,則ω 的最小值為 )對任意的第10 頁(共19 實數x都成立, 可得: 滿足x+1y2x,則2yx的最小值是 直線的截距最小,此時z最小, 故答案為:313.(5 分)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x(0,2]都成立,則f(x)在 [0,2]上是增函數”為假命題的一個函數是 f(x)=sinx 【解答】解:例如f(x)=sinx,盡管f(x)>f(0)對任意的x(0,2]都成立, 第11 頁(共19 )上為增︼函數,在(,2]為減函數, 故答案為:f(x)=sinx. 14.(5 分)已知橢圓 曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為 ;雙曲線N 的離心率為 的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的 頂點, 可得▃橢圓的焦點坐標(c,0),正六邊↓形的一個頂點( 可得,可得e 小題,共80 分。解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程。 15.(13 分)在ABC ()求AC邊上的高. 是銳角,第12 頁(共19 cosB=,sinB= 2accosB,即64=49+c 則AC邊上的高h=csinA=3 16.(14分)如圖,在三棱柱 ABCA 平面ABC,D,E,F,G 的中點,AB=BC=,AC=AA ()求證:AC平面BEF;()求二面角BCDC 的余弦值;()證明:直線FG 與平面BCD 相交. 【解答】(I)證明:E,F 分別是AC,A 平面ABC,EF平面ABC,又AC 平面ABC,EFAC, AB=BC,E 是AC 的中點, BEAC, 又BEEF=E,BE 平面BEF,EF 平面BEF, 第13 頁(共19 AC平面BEF.(II)解:以E 為原點,以EB,EC,EF 為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示: =(2,1,0),=(0,2,1), 設平面BCD 的法向量為 可得=(1,2,4),又EB平面ACC 的一個法向量,cos< 為鈍二面角,二面角BCDC (III)證明:F(0,0,2),(2,0,1), =(2,0,1), 不垂直,FG 與平面BCD 不平行,又FG平面BCD, FG 與平面BCD 相交. 17.(12 分)電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 第14 頁(共19 電影部數140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值. 假設所有電影是否獲得好評相互獨立. ()從電影公司收集的電影中隨機選取1 部,求這部電影是獲得好評的第四類 電影的概率; ()從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1 部,估計恰有1 部獲得好評的 概率; ()假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用 類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ 的大小關系.【解答】解:()設事件 部電影是獲得好評的第四類電影”,總的電影部數為140+50+300+200+800+510=2000 從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的◣第四類電影 的頻率為: =0.025.()設事件B 表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1 獲得好評”,第四類獲得好評的有:2000.25=50 =0.35.()由題意知,定義隨機變量如下: 服從兩點分布,則六類電影的分布列及方ζ差計算如下:第一類電影: 第15 頁(共19 0.40.6 0.6=0.24.第二類電影: 0.20.8 0.8=0.16.第三類電影: 0.150.85 0.85=0.1275.第四類電影: 0.250.75 0.75=0.1875.第五類電影: 0.20.8 0.8=0.16.第六類電影: 0.10.9 0.9=0.09.第16 頁(共19 18.(13分)設函數f(x)=[ax 處取得極小值,求a的取值範圍. 【解答】解:()函數f(x)=[ax 的導數為f′(x)=[ax 由題意可得曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為0,可得(a2a1+2)e=0, ,2)遞減;在(2,+),(,)遞增, ,2)遞增;在(2,+),(,)遞減, 處取得極大值,不符題意.綜上可得,a 的範圍是( 19.(14分)已知拋物線 =2px經過點 與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA M,直線PB ()求直線l的斜率的取值№範圍; 第17 頁(共19 =2px經過點 P(1,2),4=2p,解得 +(2k4)x+1=0,=(2k4) 故直線l的斜率的取值範圍(,0)(0,1); ()證明:設點M(0,y 第18頁(共19 {0,1},k=1,2,…,n},對於集合A 中的任意元素α=(x 的子集,且滿足:對於B中的任意元素α,β,當α, 中元素個數的最大值;()給定不小於2 的子集,且滿足:對於B中的任意兩個不同 的元素α,β,M(α,β)=0,寫出一個集合B,使其元素個數最多,並說明理由. 【解答】解:(I 分別為0、0、0、1,所以B 中的每個元素應有奇數個1, 所以B 中的元素只可能為(上下對應的兩個元素△稱之為互補元素): (1,0,0,0 )、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1), (0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0), 對於任意兩個只有1 的元素α,β都滿足M(α,β)是偶數, 第19 頁(共19 所以四元集合B={(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}滿足 題意, 假設B 中元素①個數大於等於4,就至少有一對互補元素, 除了這對互補元素之外還有至少1 個含有3 的元素α,則互補元素中含有1 的元素β與之滿足M(α,β)=1 不合題意, 中元素個數的最大值為4.(Il) (0,0,0,…,1)},此時B 中有n+1 個元素,下證其為最◆大. 對於任意兩個不同的元素 α,β,滿足 中相同位置上的數字不能同時為1, 假設存在 有多於n+1 個元素,由於 α=(0,0,0,…,0)與任意元素 所以除(0,0,0,…,0)外至少有n+1個元素含有1, 根據元素的互異性,至少存在一對 不滿足▓題意, 中最多有n+1個元素.

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                中學教育 --  高考

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